罗尔中值定理
$f(x)\in C [a,b] \Rightarrow \exists m,M$
(1) $m=M,f(x)\equiv C$
$\forall \xi \in (a,b),f’(\xi)=0 $;
(2) $m<M$
$\because f(a)=f(b) \therefore m,M$至少一个在 $(a,b)$ 内
设 $\exists \xi \in (a,b),f(\xi)=M \Rightarrow f’(\xi)=0$ 或不存在
$\because f(x)$ 在 $(a,b)$ 内可导 $\therefore f’(\xi)=0$
拉格朗日中值定理
令 $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}(x-a)$,
显然 $\varphi(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，在 $(a,b)$ 内可导，
又 $\varphi(a)=\varphi(b)=0$ ，所以由罗尔定理，存在 $\xi\in (a,b)$，使得 $\varphi’(\xi)=0$。
而 $\varphi’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}$，所以 $f’(\xi)-\frac{f(b)-f(a)}{b-a}=0$，即
柯西中值定理
令 $\varphi(x)=f(x)-f(a)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}[g(x)-g(a)]$,
$\varphi (a)=\varphi (b)=0 ；\exists \xi \in (a,b),\varphi’(\xi)=0$
而$\varphi’(x)=f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g’(x)$
$\therefore f’(x)-\frac{f(b)-f(a)}{g(b)-g(a)}g’(x)=0$
积分中值定理
因为 $f(x)$ 在 $[a,b]$ 上连续，所以$f(x)$ 在 $[a,b]$ 上取到最小值 $m$ 和最大值 $M$，由 $m(b-a)\le \int^b_a f(x)dx\le M(b-a)$。
于是$m\le \frac{1}{b-a}\int^b_a f(x)dx \le M$。
由介值定理，存在 $\eta \in [a,b]$ ，使得 $f(\eta)=\frac{1}{b-a}\int^b_a f(x)dx$ ，即
