前言
综合除法与余数定理是研究多项式除法的有力工具，本文主要为高次多项式因式分解一文做铺垫。
综合除法
一个一元多项式除以另一个一元多项式，并不是总能整除。当背除式 $f(x)$ 除以除式 $g(x),(g(x)\ne 0)$ 得商式 $q(x)$ 及余式 $r(x)$ 时，就有下列等式：
其中 $r(x)$ 的次数小于 $g(x)$ 的次数，或者 $r(x)=0$。当 $r(x)=0$ 时，就是 $f(x)$ 能被 $g(x)$ 整除。
下面我们介绍一个一元多项式除以另一个一元多项式的简便运算————综合除法。
例1、用综合除法求 $2x^4+14x+7-7x^3$ 除以 $x-2$ 所得的商和余式。
解：
$\therefore (2x^4+14x+7-7x^3)\div (x-2) $ 的商是 $2x^3-3x^2-6x+2$,余式是 $8$。
上述综合除法的步骤是：
（1）把被除式按降幂排好，缺项补零。
（2）把除式的第二项-2变成2，写在被除式的右边，中间用一条竖线隔开。
（3）把被除式的第一项的系数2移到横线的下面，得到商的第一项的系数。
（4）用2乘商的第一项的系数2，得4，写在被除式的第二项的系数-7的下面，同-7相加，得到商的第二项系数-3。
（5）用2乘商的第二项的系数-3，得-6，写在被除式的第三项的系数0的下面，同0相加，得到商的第三项的系数-6。
（6）用2乘商的第三项的系数-6，得-12，写在被除式的第四项的系数14的下面，同14相加，得到商的第三项系数2。
（7）用2乘商的常数项2，得4，写在被除式的常数项4的下面，同4相加，得到余式8。
前面讨论了除式都是一次项系数为1的一次式的情形。如果除式是一次式，但一次项系数不是1，能不能利用综合除法计算呢？
例2、求 $(3x^3+10x^2-23x+16)\div (3x-2)$ 的商式 $Q$ 和余式 $R$。
解：把除式缩小3倍，那么商就扩大3倍，但余式不变。因此先用 $x-\frac{2}{3}$ 去除被除式，再把所得的商缩小3倍即可。
$\therefore Q=x^2+4x-5,\quad R=6 $ 。
例3、用综合除法求 $(3x^4+7x^3-11x^2+10x-4)\div (x^2+3x-2)$ 的商式 $Q$ 和余式 $R$。
解：
$\therefore Q=3x^2-2x+5,\quad R=3x-2 $ 。
余数定理
余数定理又称裴蜀定理。它是法国数学家裴蜀（1730~1783）发现的。余数定理在研究多项式、讨论方程方面有着重要的作用。
余数定理：多项式 $f(x)$ 除以 $x-a$ 所得的余数等于 $f(a)$。
略证：设 $f(x)=Q(x)\cdot (x-a) +R$
将 $x=a$ 带入得 $f(a)=R$。
