前言
最近在学习微分方程章节时遇到大量运用到复数知识点的考题。由于高中之后就再也没用过了，对于复数的相关性质定理几乎没有映像了，所以查找相关资料温习一遍。
背景
我们把形如$ z=a+bi $ （ $ a,b $ 均为实数）的数称为复数，其中 $ a $ 称为实部， $ b $ 称为虚部， $ i $ 称为虚数单位。当 $ z $ 的虚部等于零时，常称 $ z $ 为实数；当 $ z $ 的虚部不等于零时，实部等于零时，常称 $ z $ 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。
定义
数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。<\br>
在实数域上定义二元有序对$ z=(a,b) $，并规定有序对之间有运算” $ + $ “、” $ \times $ “ （ 记$ z_1=(a,b),z_2=(c,d) $ ）：
容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数 $ z $ ，我们有
令 $ f $ 是从实数域到复数域的映射，$ f(a)=(a,0) $，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。
记$ (0,1)=i $,则根据我们定义的运算，$ (a,b)=(a,0)+(0,1) \times (b,0)=a+bi $，$ i \times i=(0,1) \times (0,1)=(-1,0)=-1 $，这就只通过实数解决了虚数单位 $ i $ 的存在问题。
形如 的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且 （ $ a，b $ 是任意实数）
我们将复数 中的实数 $ a $ 称为复数 $ z $ 的实部（real part）记作$ Rez=a $
实数 $ b $ 称为复数 $ z $ 的虚部（imaginary part）记作 $ Imz=b $.
当$ a=0 $且$ b\ne 0 $时，$ z=bi $，我们就将其称为纯虚数。
复数的集合用 $ C $ 表示，实数的集合用 $ R $ 表示，显然， $ R $ 是 $ C $ 的真子集。
复数集是无序集，不能建立大小顺序。
复数的模
将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 $ ∣z∣ $ .
即对于复数$ z=a+bi $，它的模
共轭复数
释义
对于复数$ z=a+bi $，称复数$ \overline{z} =a-bi $为 $ z $ 的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数 $ z $ 的共轭复数记作 $ \overline{z} $ 。
性质
根据定义，若 $ z=a+bi(a，b\in R） $，则 $ \overline{z} =a-bi(a，b\in R） $。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：$ x+yi $与$ x-yi $称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于 $ X $ 轴对称，而这一点正是”共轭”一词的来源————两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做”轭”。如果用 $ z $ 表示$ x+yi $，那么在 $ z $ 字上面加个”一”就表示$ x-yi $，或相反。
共轭复数有些有趣的性质：
复数的辐角
概述
在复变函数中，自变量 $z$可以写成 $z=r \times (\cos \theta + i\sin \theta)$，$r$ 是 $z$ 的模，即 $r = |z|$；$\theta $ 是 $z$ 的辐角，记作： $Arg（z）$。在 $-\pi$ 到 $\pi$ 间的辐角称为辐角主值，记作： $arg（z）（小写的A）$。
释义
任意一个不为零的复数 的辐角有无限多个值，且这些值相差 $2\pi$ 的整数倍。把适合于 $-\pi \le \theta < \pi $ 的辐角 $\theta$ 的值，叫做辐角的主值，记作 $arg(z)$。辐角的主值是唯一的。
指数形式： $z=(\cos \theta + i\sin \theta)=re^{i\theta} $ 。
运算法则
加法法则
复数的加法法则：设$ z_1=a+bi $ ， $ z_2=c+di $是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。
即
乘法法则
复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中$ i^2=-1 $，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
即
除法法则
复数除法定义：满足$ (c+di)(x+yi)=(a+bi) $的复数$ x+yi(x,y\in R) $叫复数$ a+bi $除以复数$ c+di $的商。
运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
即
开方法则
若$ z^n=r(\cos\theta + i\sin\theta) $,则
运算律
加法交换律：$ z_1+z-2=z_2+z_1 $
乘法交换律：$ z_1 \times z_2=z_2\times z_1 $
加法结合律：$ (z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3) $
乘法结合律：$ (z_1\times z_2)\times z_3=z_1\times (z_2\times z_3) $
分配律：$ z_1\times (z_2+z_3)=z_1\times z_2+z_1\times z_3 $
