考研数学相关知识点：复数

前言

  最近在学习微分方程章节时遇到大量运用到复数知识点的考题。由于高中之后就再也没用过了，对于复数的相关性质定理几乎没有映像了，所以查找相关资料温习一遍。

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背景

  我们把形如$z=a+bi$ （ $a,b$ 均为实数）的数称为复数，其中 $a$ 称为实部， $b$ 称为虚部， $i$ 称为虚数单位。当 $z$ 的虚部等于零时，常称 $z$ 为实数；当 $z$ 的虚部不等于零时，实部等于零时，常称 $z$ 为纯虚数。复数域是实数域的代数闭包，即任何复系数多项式在复数域中总有根。 复数是由意大利米兰学者卡当在十六世纪首次引入，经过达朗贝尔、棣莫弗、欧拉、高斯等人的工作，此概念逐渐为数学家所接受。

定义

  数集拓展到实数范围内，仍有些运算无法进行（比如对负数开偶数次方），为了使方程有解，我们将数集再次扩充。<\br>
  在实数域上定义二元有序对$z=(a,b)$，并规定有序对之间有运算” $+$ “、” $\times$ “ （ 记$z_1=(a,b),z_2=(c,d)$ ）：

$$z_1 + z_2=(a+c,b+d)$$ $$z_1 \times z_2=(ac-bd,bc+ad)$$

  容易验证，这样定义的有序对全体在有序对的加法和乘法下成一个域，并且对任何复数 $z$ ，我们有

$$z=(a,b)=(a,0)+(0,1) \times (b,0)$$

  令 $f$ 是从实数域到复数域的映射，$f(a)=(a,0)$，则这个映射保持了实数域上的加法和乘法，因此实数域可以嵌入复数域中，可以视为复数域的子域。
  记$(0,1)=i$,则根据我们定义的运算，$(a,b)=(a,0)+(0,1) \times (b,0)=a+bi$，$i \times i=(0,1) \times (0,1)=(-1,0)=-1$，这就只通过实数解决了虚数单位 $i$ 的存在问题。
  形如 的数称为复数（complex number），其中规定i为虚数单位，且 （ $a，b$ 是任意实数）
  我们将复数 中的实数 $a$ 称为复数 $z$ 的实部（real part）记作$Rez=a$
  实数 $b$ 称为复数 $z$ 的虚部（imaginary part）记作 $Imz=b$.
  当$a=0$且$b\ne 0$时，$z=bi$，我们就将其称为纯虚数。
  复数的集合用 $C$ 表示，实数的集合用 $R$ 表示，显然， $R$ 是 $C$ 的真子集。
  复数集是无序集，不能建立大小顺序。

复数的模

  将复数的实部与虚部的平方和的正的平方根的值称为该复数的模，记作 $∣z∣$ .
  即对于复数$z=a+bi$，它的模

$$|z|=\sqrt{a^2+b^2}$$

共轭复数

释义

  对于复数$z=a+bi$，称复数$\overline{z} =a-bi$为 $z$ 的共轭复数。即两个实部相等，虚部互为相反数的复数互为共轭复数(conjugate complex number）。复数 $z$ 的共轭复数记作 $\overline{z}$ 。

性质

  根据定义，若 $z=a+bi(a，b\in R）$，则 $\overline{z} =a-bi(a，b\in R）$。共轭复数所对应的点关于实轴对称。两个复数：$x+yi$与$x-yi$称为共轭复数，它们的实部相等，虚部互为相反数。在复平面上，表示两个共轭复数的点关于 $X$ 轴对称，而这一点正是”共轭”一词的来源————两头牛平行地拉一部犁，它们的肩膀上要共架一个横梁，这横梁就叫做”轭”。如果用 $z$ 表示$x+yi$，那么在 $z$ 字上面加个”一”就表示$x-yi$，或相反。
  共轭复数有些有趣的性质：

$$|x+yi|=|x-yi|$$ $$(x+yi)\times (x-yi)=x^2+y^2$$

复数的辐角

概述

  在复变函数中，自变量 $z$可以写成 $z=r \times (\cos \theta + i\sin \theta)$，$r$ 是 $z$ 的模，即 $r = |z|$；$\theta$ 是 $z$ 的辐角，记作： $Arg（z）$。在 $-\pi$ 到 $\pi$ 间的辐角称为辐角主值，记作： $arg（z）（小写的A）$。

释义

  任意一个不为零的复数 的辐角有无限多个值，且这些值相差 $2\pi$ 的整数倍。把适合于 $-\pi \le \theta < \pi$ 的辐角 $\theta$ 的值，叫做辐角的主值，记作 $arg(z)$。辐角的主值是唯一的。
  指数形式： $z=(\cos \theta + i\sin \theta)=re^{i\theta}$ 。

运算法则

加法法则

  复数的加法法则：设$z_1=a+bi$ ， $z_2=c+di$是任意两个复数。两者和的实部是原来两个复数实部的和，它的虚部是原来两个虚部的和。两个复数的和依然是复数。

  即

$$(a+bi)\pm (c+di)=(a\pm c)+(b\pm d)i$$

乘法法则

  复数的乘法法则：把两个复数相乘，类似两个多项式相乘，结果中$i^2=-1$，把实部与虚部分别合并。两个复数的积仍然是一个复数。
  即

$$(a+bi)(c+di)=(ac-bd)+(bc+ad)i$$

除法法则

  复数除法定义：满足$(c+di)(x+yi)=(a+bi)$的复数$x+yi(x,y\in R)$叫复数$a+bi$除以复数$c+di$的商。
  运算方法：将分子和分母同时乘以分母的共轭复数，再用乘法法则运算，
  即

$$\frac{a+bi}{c+di}=\frac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\frac{(ac+bd)+(bc-ad)i}{c^2+d^2}$$

开方法则

  若$z^n=r(\cos\theta + i\sin\theta)$,则

$$z=\sqrt[n]{r}\bigg\[ \frac{\cos (2k\pi + \theta)}{\pi}+\frac{i\sin (2k\pi + \theta)}{n} \bigg\] \quad (k=0,1,2,3\dots n-1)$$

运算律

  加法交换律：$z_1+z-2=z_2+z_1$

  乘法交换律：$z_1 \times z_2=z_2\times z_1$

  加法结合律：$(z_1+z_2)+z_3=z_1+(z_2+z_3)$

  乘法结合律：$(z_1\times z_2)\times z_3=z_1\times (z_2\times z_3)$

  分配律：$z_1\times (z_2+z_3)=z_1\times z_2+z_1\times z_3$

i的乘方法则

$$i^{4n+1}=i,\quad i^{4n+2}=-1,\quad i^{4n+3}=-i,\quad i^{4n}=1 \quad (其中n\in Z)$$

参考资料

• 百度百科：复数